幻方（Magic Square）
幻方概述
什么是幻方呢？幻方（Magic Square）就是指在n×n（n行n列）的方格里填上一些连续的数字，使任意一行、任意一列和对角线上的数字的和都相等。例如有3×3的3行3列的幻方叫三阶幻方，4×4的4行4列的幻方叫四阶幻方，5×5的5行5列的幻方叫五阶幻方等等。
幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。除了“河图”，中国古代还有“洛书”之说，相传在大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，背上有图有字，人们称之为“洛书”。
在幻方中每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个和称为“幻和”。
幻和 = 总数和 ÷ 阶数
奇数幻方中，中间数 = 幻和 ÷ 阶数
由1、2、3、……等连续自然数生成的幻方为基本幻方。在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成由零或负数组成的新幻方。也就是说，编排n阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。
一般我们把奇数×奇数的幻方叫奇阶幻方，偶数×偶数的幻方叫偶阶幻方，填奇阶幻方和偶阶幻方的有着不同的方法。
一、奇阶幻方通用构造方法
口诀（又称为罗伯法）：
一居上行正中央，
依次斜填切莫忘，
上出框界往下写，
右出框时左边放，
重复便在下格填，
出角重复一个样。
解释：
把1（或最小的数）放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
三阶幻方为例子：
一居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中。如下图：
依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字。如下图：
上出框界往下写——如果出了上框边界，就将数字填在该列最下面空格里。如下图：
右出框时左边放——如果出了右框边界，就将数字填在该行最左空格里。如下图：
重复便在下格填——如果右上格子已填数字，就填在前一数字下面空格里。如下图：
出角重复一个样——如果朝右上角出框界，和“重复”的情况做同样处理。如下图：
最后8和9按照右出界、上出界的方法填写，如下图：
完成！
按照这种方式，完成后，做镜像或旋转对称，可得到实际相同的其他填法，如：
用该填法得到的5阶幻方：
7阶幻方：
二、偶数阶幻方
偶阶幻方的概念：一个n阶幻方，当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。
偶阶幻方分为双偶幻方和单偶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶阶幻方，如8阶、12阶、16阶等；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶阶幻k+2式幻方），如6阶、10阶、14阶等。偶数阶幻方的构造方法由此分为两类：双偶阶幻方和单偶阶幻方。
1.双偶阶幻方
所谓双偶阶幻方就是当阶数n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数 。例如一个8阶幻方，和为65的两数互补（8×8+1＝65）
双偶阶幻方最简单的是四阶幻方，现在先看看它的制作。
第一步，画一个4×4的方格，并将数字从左到右、从上到下按顺序填入方格，如下图：
第二步，对角线上的互补的两数交换位置。根据互补的定义，四阶幻方的互补数是17（4×4+1），即对角线上两个数之和为17的数互换位置。内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。互换后，就是一个四阶幻方。
参见下图：
或者，或者，对角线上的数字不动，其余的数字互换。过中心点对面的数正好互补，于是将这两个数互换位置，参见下图：
这样也符合要求。
高于4阶的双偶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
下面以8阶幻方为例，第一步，画一个8×8的方格，并将1-64从左到右、从上到下按顺序填入8×8的方格，如下图：
第二步，再将8×8的方格分成四块4×4的小区
凡是被对角线划到的数字保持不动，没有划到的数字，即下图中为粉底色的数字，就是要互换位置的数字。
第三步，数字对调。怎么对调呢？两个要点：一是每个对调的数字要过中心点；二是对调的数字互补，即互换的两个数之和必须是65。
实际上，每个数字过中心点，对面只有一个数字没有被斜线划到。互换后，每行、每列及对角线数字之和都为260，幻方成立。为了帮助理解，下图中，标示了几对互换的数字。
2.单偶阶幻方
在奇数幻方、双偶幻方、单偶阶幻方三类幻方中，单偶阶幻方被认为是最复杂的幻方，但也是有规律可循的。
单偶幻方，是指阶数不能被4整除的偶阶幻方，其一般形式为n=4k＋2（k=1，2，…）。
一个单偶幻方，可借助单阶幻方的构造方法，如6阶幻方，我们可以借助三阶幻方的构造方法，10阶幻方也可以借助五阶幻方的构造方法来完成。然后，再使用象限对称交换法完成。
先以6阶幻方为例
第一步，画一个6×6的方格，将其均分成四个3×3的方格，即四个3阶奇数幻方，并分别用ABCD表示。
在A区用1－9，B区用10－18，在C区用19－27，在D区用28－36完成三阶幻方的构造。
见下图：
这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
第二步，开始交换
6阶幻方：6＝4×1＋2，这时k＝1
(1)在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
(2)在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换即完成。
再看10阶幻方
第一步，画一个10×10的方格，将其均分成四个5×5的方格把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
第二步，开始交换
10阶幻方：10＝4×2＋2，这时k=2
(1)A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
(2)在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
随便提示，幻方的构造方法并非唯一，对于同一阶数的幻方，可以采用不同的构造方法得到不同的幻方。这里介绍的是我认为比较好懂的😊。